0 难度： 2023-03-09
每日一题第1577题：（2023四省（吉林、黑龙江、安徽、云南）联考解答22）
椭圆曲线C={(x,y)|y^2=x^3+ax+b,4a^3+27b^2≠0}。P∈C关于x轴的对称点记为P~。C在点P(x,y)(y≠0)处的切线是指曲线y=±√x^3+ax+b在点P处的切线。定义“⊕”运算满足：①若P∈C，Q∈C，且直线PQ与C有第三个交点，则P⊕Q=R~；②若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P，则P⊕Q=P~；③若P∈C，规定P⊕P~=0*，且P⊕0*=0*⊕P=P。
（1）当4a^3+27b^2=0时，讨论函数h(x)=x^3+ax+b的零点个数；
（2）已知“⊕”满足交换律、结合律，若P∈C，Q∈C，且PQ为C的切线，切点为P，证明：P⊕P=Q~;
（3）已知P(x1,y1)∈C，Q(x2,y2)∈C，且直线PQ与C有第三个交点，求P⊕Q的坐标。
感谢作者：怒王仲海，本题出自微信公众：高中数学好题赏析，大家敬请关注！
