0 难度： 2024-07-17
每日一题第2059题：（2024年高考上海卷解答21）
对于一个函数f(x)和一个点M(a,b)，定义s(x)=(x-a)^2+(f(x)-b)^2，若存在点P(x0,f(x0))，使s(x0)是s(x)的最小值，则称点P是函数f(x)到点M的“最近点”。
（1）对于f(x)=1/x(x＞0)，求证：对于点M(0,0)，存在点P，使得点P是f(x)到点M的“最近点”；
（2）对于f(x)=e^x，M(1,0)，请判断是否存在一个点P，它是f(x)到点M的“最近点”，且直线MP与f(x)在点P处的切线垂直；
（3）已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f'(x)，且函数g(x)在定义域R上恒正，设点M1(t-1,f(t)-g(t))，M2(t+1,f(t)+g(t))。若对任意的t∈R，存在点P同时是函数f(x)到M1,M2的“最近点”，试判断f(x)的单调性。
感谢作者：怒王仲海，本题出自微信公众：高中数学好题赏析，大家敬请关注！
